3 非 Schur Complement 部分信息计算

参考，非Schur Complement 部分指 \(H_{XX}\) 和 \(J^T_{X}r\)。

3.1 AccumulatedTopHessianSSE::addPoint()优化的局部信息计算

EnergyFunctional::accumulateAF_MT() 与 EnergyFunctional::accumulateLF_MT() 遍历每一个点，对每一个点调用 AccumulatedTopHessianSSE::addPoint()。在 AccumulatedTopHessianSSE::addPoint() 中遍历点的每一个 residual。计算所有优化系统的信息，存储在每个点的局部变量和 EnergyFunctional 的局部变量中。

3.1.1 resApprox

首先搞定resApprox。由 VecNRf 可知，这东西是 8x1 的矩阵（也就是每个 residual 都是八个像素点的组合）。

VecNRf resApprox;if(mode==0) // active  resApprox = rJ->resF;if(mode==2) // marginalize  resApprox = r->res_toZeroF;if(mode==1) // linearized{  // compute Jp*delta  __m128 Jp_delta_x = _mm_set1_ps(rJ->Jpdxi[0].dot(dp.head<6>())+rJ->Jpdc[0].dot(dc)+rJ->Jpdd[0]*dd);  __m128 Jp_delta_y = _mm_set1_ps(rJ->Jpdxi[1].dot(dp.head<6>())+rJ->Jpdc[1].dot(dc)+rJ->Jpdd[1]*dd);  __m128 delta_a = _mm_set1_ps((float)(dp[6]));  __m128 delta_b = _mm_set1_ps((float)(dp[7]));  for(int i=0;i
    
     res_toZeroF)+i);    rtz = _mm_add_ps(rtz,_mm_mul_ps(_mm_load_ps(((float*)(rJ->JIdx))+i),Jp_delta_x));    rtz = _mm_add_ps(rtz,_mm_mul_ps(_mm_load_ps(((float*)(rJ->JIdx+1))+i),Jp_delta_y));    rtz = _mm_add_ps(rtz,_mm_mul_ps(_mm_load_ps(((float*)(rJ->JabF))+i),delta_a));    rtz = _mm_add_ps(rtz,_mm_mul_ps(_mm_load_ps(((float*)(rJ->JabF+1))+i),delta_b));    _mm_store_ps(((float*)&resApprox)+i, rtz);  }}
    

Residual 有三种情况：

1. active 情况最简单，直接是 residual。
2. marginalize 的情况比较复杂，res_toZeroF 在赋值，而 res_toZeroF 与下面计算的 rtz 是类似的。
3. linearized 在这里已经给出了其赋值的方法，下面会说到，linearized residual 是不存在的。

所谓的 linearied residual 是指 EFResidual::isActive() 与 EFResidual::isLinearized 都为 true 的 Residual。初始阶段 isLinearized 为 false，只要搞清楚 isLinearized 在什么时候设置为 true 就可以了解到 linearized residual 是何种意思。查找了 EFResidual::isLinearized 只在 中设置为 true，而 EFResidual::fixLinearizationF() 仅仅只在 FullSystem::flagPointsForRemoval() 中调用。在此处，将那些符合 2 种情况（1. 因为 residual 太少造成了 Out Of Boundary（这里考虑到将要被 marginalize 掉的帧的影响），2. 主帧要被 marginalize 掉）的点的 residual 设置为 linearized。但是这些点紧接着又会在 EnergyFunctional::marginalizePointsF() 中被 marg 掉，被删除掉。最终也没有进入 FullSystem::optimize() 的优化过程中。我在 AccumulatedTopHessianSSE::addPoint() 的这个设置了 conditional breakpoint (mode==1)，或者assert(mode!=1)，实验证明 linearized residual 是不存在的。

1. active residual 时，resApprox对应的就是简单的 \(r_{21}\)。

2. linearized residual 时，还要看这个代码是什么意思。

\(\begin{bmatrix} \text{Jp_delta_x} \\ \text{Jp_delta_y} \end{bmatrix} = {\partial x_2 \over \partial \xi_1}{\delta \xi_1} + {\partial x_2 \over \partial \xi_2}{\delta \xi_2} + {\partial x_2 \over \partial C}{\delta C} + {\partial x_2 \over \partial \rho_1}{\delta \rho_1}\)

\(\begin{bmatrix} \text{delta_a} \\ \text{delta_b}\end{bmatrix} = {\partial l_{21} \over \partial l_1}{\delta l_1} + {\partial l_{21} \over \partial l_2}{\delta l_2}\)

\(\text{rtz} = {\partial r_{21} \over \partial \xi_1}{\delta \xi_1} + {\partial r_{21} \over \partial \xi_2}{\delta \xi_2} + {\partial r_{21} \over \partial C}{\delta C} + {\partial r_{21} \over \partial \rho_1}{\delta \rho_1} + {\partial r_{21} \over \partial l_1}{\delta l_1} + {\partial r_{21} \over \partial l_2}{\delta l_2}\)

res_toZeroF与rtz相同。resApprox = res_toZeroF + rtz。

3.1.2 acc

在 AccumulatedTopHessianSSE::addPoint() 函数计算了 Hessian 矩阵。而这里的 Hessian 矩阵是存储了两个帧之间的相互信息，所有的信息存储在 AccumulatedTopHessianSSE::acc 中，acc是一个数组，大小是 8*8 个，位置 (i, j) 上对应的是 i 帧与 j 帧的相互信息。

AccumulatorApprox 也就是AccumulatedTopHessianSSE::acc 变量的“基础”类型。这个类型对应着 13x13 的矩阵。这个矩阵经过阅读代码，可以知道存储的是以下信息。

\[H = \begin{bmatrix} J^T \\ r^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J & r \end{bmatrix} \]

\[J = \begin{bmatrix} {\partial r_{21} \over \partial C}_{8\times4} & {\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}_{8\times6} & {\partial r_{21} \over \partial l_{21}}_{8\times2} \end{bmatrix}_{8\times12}\]

\[r = \begin{bmatrix} r_{21} \end{bmatrix}_{8\times1}\]

\[\begin{align} H &= \begin{bmatrix} J^T \\ r^T \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J & r \end{bmatrix}\notag \\ &= \begin{bmatrix} {\partial r_{21} \over \partial C}^T_{4\times8} \\ {\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T_{6\times8} \\ {\partial r_{21} \over \partial l_{21}}^T_{2\times8} \\ {r_{21}}^T_{1\times8} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\partial r_{21} \over \partial C}_{8\times4} & {\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}_{8\times6} & {\partial r_{21} \over \partial l_{21}}_{8\times2} & {r_{21}}_{8\times1}\end{bmatrix} \notag \\ &= \begin{bmatrix} {

{\partial r_{21} \over \partial C}^T{\partial r_{21} \over \partial C}}_{4\times4} & {

{\partial r_{21} \over \partial C}^T{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}}_{4\times6} & {

{\partial r_{21} \over \partial C}^T{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}}_{4\times2} & {

{\partial r_{21} \over \partial C}^T{r_{21}}}_{4\times1} \\ {

{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial C}}_{6\times4} & {

{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}}_{6\times6} & {

{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}}_{6\times2} & {

{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T{r_{21}}}_{6\times1} \\ {

{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial C}}_{2\times4} & {

{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}}_{2\times6} & {

{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}}_{2\times2} & {

{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}^T{r_{21}}}_{2\times1} \\ {

{r_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial C}}_{1\times4} & {

{r_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}}_{1\times6} & {

{r_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}}_{1\times2} & {

{r_{21}}^T{r_{21}}}_{1\times1} \end{bmatrix} \notag \end{align}\]

代码中的BotRight对应矩阵右下角 3x3 的分块：

\[\begin{bmatrix} {

{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}}_{2\times2} & {

{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}^T{r_{21}}}_{2\times1} \\ {

{r_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}}_{1\times2} & {

{r_{21}}^T{r_{21}}}_{1\times1} \end{bmatrix}\]

TopRight对应矩阵右上角 10x3 的分块：

\[\begin{bmatrix} {

{\partial r_{21} \over \partial C}^T{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}}_{4\times2} & {

{\partial r_{21} \over \partial C}^T{r_{21}}}_{4\times1} \\ {

{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial l_{21}}}_{6\times2} & {

{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T{r_{21}}}_{6\times1} \end{bmatrix}\]

Data对应左上角 10x10 的分块：

\[\begin{bmatrix} {

{\partial r_{21} \over \partial C}^T{\partial r_{21} \over \partial C}}_{4\times4} & {

{\partial r_{21} \over \partial C}^T{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}}_{4\times6} \\ {

{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial C}}_{6\times4} & {

{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}^T{\partial r_{21} \over \partial \xi_{21}}}_{6\times6} \end{bmatrix}\]

这个 AccumulatorApprox 中存储的 13x13 矩阵并不是优化过程中整体的大矩阵，只是对应着窗口中两帧之间的相互信息。注意到代码中计算调用acc变量时是这么调用的acc[tid][htIDX]，int htIDX = r->hostIDX + r->targetIDX * nframes[tid];，不考虑tid线程编号，acc共有8*8=64个。

继续讲完 AccumulatedTopHessianSSE::addPoint 函数。

函数的目标除了计算不同帧之间的相互信息（变量acc），还需要计算每一个点对于所有 residual 的信息和。即EFPoint中的成员变量Hdd_accAF, bd_accAF, Hcd_accAF, Hdd_accLF, bd_accLF, Hcd_accLF，如果这个点是 active 点，那么设置AF相关的变量，否则设置LF相关变量，如果是 marginalize 点，清除AF相关变量的信息。这三个成员变量将用于计算逆深度的优化量。

局部变量Hdd_acc, bd_acc, Hcd_acc对应着这些EFPoint的成员变量，最后赋值到成员变量。

3.1.3 bd_acc, Hdd_acc, Hcd_acc

JI_r[0] += resApprox[i] *rJ->JIdx[0][i];JI_r[1] += resApprox[i] *rJ->JIdx[1][i];...Vec2f Ji2_Jpdd = rJ->JIdx2 * rJ->Jpdd;bd_acc +=  JI_r[0]*rJ->Jpdd[0] + JI_r[1]*rJ->Jpdd[1];Hdd_acc += Ji2_Jpdd.dot(rJ->Jpdd);Hcd_acc += rJ->Jpdc[0]*Ji2_Jpdd[0] + rJ->Jpdc[1]*Ji2_Jpdd[1];

JI_r对应 \({\partial r_{21} \over \partial x_2}^T({\partial r_{21} \over \partial \xi_1}{\delta \xi_1} + {\partial r_{21} \over \partial \xi_2}{\delta \xi_2} + {\partial r_{21} \over \partial C}{\delta C} + {\partial r_{21} \over \partial \rho_1}{\delta \rho_1} + {\partial r_{21} \over \partial l_1}{\delta l_1} + {\partial r_{21} \over \partial l_2}{\delta l_2})\)，2x1。

Ji2_Jpdd对应 \({\partial r_{21} \over \partial x_2}^T{\partial r_{21} \over \partial \rho_1}\)，2x1。

bd_acc对应（1）active 时，\({\partial r_{21} \over \partial \rho_1}^Tr_{21}\)；（2）marginalize 时，\({\partial r_{21} \over \partial \rho_1}^T({\partial r_{21} \over \partial \xi_1}{\delta \xi_1} + {\partial r_{21} \over \partial \xi_2}{\delta \xi_2} + {\partial r_{21} \over \partial C}{\delta C} + {\partial r_{21} \over \partial \rho_1}{\delta \rho_1} + {\partial r_{21} \over \partial l_1}{\delta l_1} + {\partial r_{21} \over \partial l_2}{\delta l_2})\)。1x1。

Hdd_acc对应 \({\partial r_{21} \over \partial \rho_1}^T{\partial r_{21} \over \partial \rho_1}\)，1x1。

Hcd_acc对应 \({\partial r_{21} \over \partial C}^T{\partial r_{21} \over \partial \rho_1}\)，4x1。

3.2 AccumulatedTopHessianSSE::stitchDoubleInternal()优化信息统计

循环for(int k=min;k<max;k++)循环是遍历所有可能的 (host_frame,target_frame) 组合。

内层循环累积计算accH就不用看了，这个循环是用于累加多个线程的结果，accH就是acc[h+nframes*t]，参照 3.1。

下面的H（对应 \(H_{XX}\)）和b（对应 \(J^T_{X}r\)）的累加，使用了 EnergyFunctional::adHost 和 EnergyFunctional::adTarget。这是因为前面计算的 Jacobian 都是对相对状态的偏导，这两个变量存储的是相对状态对绝对状态的偏导。

adHost[h+nframes*t]下标是 (t,h)，对应公式 \({\partial X_R^{(th)} \over \partial X_R^{(h)}}^T\)。

adTarget[h+nframes*t]下标是 (t,h)，对应公式 \({\partial X_R^{(th)} \over \partial X_R^{(t)}}^T\)。

\(X_R^{(i)}\) 是 i 帧的所有状态，包括 se(3) 和 AffLight 参数，即 \(\begin{bmatrix} \xi_i \\ l_i \end{bmatrix}\)。